جدول المحتويات
ما هي الاسطوانة
- الأسطوانة في اللغة اليونانية (Kylendros) وباللغة اللاتينية (Silinross)، هي جسم صلب، فهي عبارة عن جسم ثلاثي الجوانب، كل منها على شكل دائرة.
- بما أن ارتفاع الأسطوانة ومحورها ونصف قطرها هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
- في الرياضيات، يعتبر أحد النماذج الأساسية، حيث يتكون أي سطح مجسم من جميع النقاط التي قد تكون على مسافة معينة من قطعة مستقيمة تسمى محور الأسطوانة.
- المساحة المغلقة عند المستويات المقصودة تسمى محور الاسطوانة. يسمى الجانب المقابل المولد أو راسم الأسطوانة، ويشكل المنشور الأساسي دائرة.
- أما الدائرتان اللتان تحدان الجسم من كلا الجانبين، فتسمى القاعدة أو الدليل، والقطعة المستقيمة المتعامدة على القاعدتين تعرف بارتفاع الأسطوانة.
- تُعرف الأسطوانة التي يكون مقطعها العرضي موجبًا أو ناقصًا أو مكافئًا باسم الأسطوانة الإضافية، والأسطوانة المفقودة والأسطوانة المكافئة على التوالي، ولا تنطبق التعريفات السابقة عليها.
- ينتج شكل الأسطوانة عن التفاف المستطيل حول أحد أضلاعه في دورة كاملة.
- تتميز الأسطوانة بمجموعة من الخصائص التي تميزها عن الأشكال الهندسية الأخرى، ومن بين هذه الخصائص أن قاعدتها مسطحة الشكل، والقاعدة هي نفس القاعدة العلوية، أي أن القاعدتين العلوية والسفلية متطابقة لاحتوائها جانب واحد.
- هناك أنواع عديدة من الأسطوانات حيث سميت بهذا الاسم لاحتوائها على مولد (مولد دوار). إذا قيل مصطلح الأسطوانة دون تحديد، فقد نعني الأسطوانة الدائرية الحالية حيث أن لها بعض القوانين الخاصة بها.
مساحة الاسطوانة
هناك نوعان من المساحات وهما:
- الفضاء الجانبي: باللغة الإنجليزية (مساحة السطح المنحنية)، حيث يتم تعريفه على أنه المساحة الكلية للأسطوانة باستثناء مساحة القاعدتين، والتي يمكن التعبير عنها بتخيل مربع أسطواني مغطى من الخارج بملصق ورقي يلتف حول جوانبه بالكامل في المنطقة المحصورة بين القاعدتين بحيث تتشكل كمية الورق اللازمة لذلك. المساحة الجانبية للأسطوانة، بما أن الأسطوانة عبارة عن مستطيل ملفوف بين قاعدتين دائرتين، يتم تمثيل المساحة الجانبية لها بمساحة هذا المستطيل على النحو التالي:
- مساحة المستطيل = طول المستطيل × عرض المستطيل، لذا فإن عرض المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة (ع) ويمثل طوله محيط إحدى القاعدتين المحاطتين بدائرة = 2 x π x نصف قطر القاعدة، بالتالي:
- المساحة الجانبية للأسطوانة = (2 x π x نصف قطر القاعدة) x الارتفاع، الرموز: المنطقة الجانبية للأسطوانة = 2 x π x nq x z.
- المساحة الإجمالية: بما أن الأسطوانة تتكون من قاعدتين دائريتين ومستطيل ملفوف بين القاعدتين، فإن مساحتها الإجمالية هي مساحة كل من المستطيل والقاعدتين الدائرتين، أي أنها تساوي مجموع المساحة الجانبية مساحة القاعدتان على النحو التالي:
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة الأولى + مساحة القاعدة الثانية = π × Naq² + × Naq² + 2 × × Naq × Z = 2 ×× Naq² + 2 × π × Naq × Z، و الناتج 2 × × Na X كعامل مشترك:
- إجمالي مساحة الأسطوانة = 2 x π x نصف قطر الأسطوانة x (نصف قطر الأسطوانة + ارتفاع الأسطوانة)، وفي الرموز، المساحة الكلية للأسطوانة = 2 x π x min x ( دقيقة + ض).
أنواع الاسطوانات واستخدامها
هناك نوعان من الاسطوانات:
- أولاً: (الاسطوانة اليمنى) حيث يكون محور الاسطوانة عمودياً على قاعدتي الأسطوانة.
- ثانياً: الأسطوانة المائلة: حيث يكون محور الأسطوانة غير متعامد مع قاعدتي الأسطوانة.
- ثالثًا: الأسطوانة التي تشبه المنشور، فكلما زاد عدد أوجه المنشور، كلما اقتربنا من شكل الأسطوانة.
استخدامات الاسطوانة:
- تستخدم الأسطوانات في عدد من تطبيقات الحياة العملية وهي كالتالي:
- مضخات المياه هي نموذج أسطواني يستخدم لضخ المياه عن طريق دفع كبير.
- آلة صنع النسيج، كآلة لتمشيط الألياف والخيوط التي تشكل المنسوجات والملابس هي نموذج أسطواني.
- المطابع كالآلة التي تدور حولها الورقة للطباعة هي نموذج أسطواني.
- في علم الآثار، كما أن العديد من آثار الشعوب القديمة مثل قدماء المصريين والآشوريين وغيرهم تتخذ شكل نماذج أسطوانية في تشكيل العديد من مضخات المياه، وكذلك الأعمدة المنحوتة والمنحوتة.
احسب حجم الأسطوانة باللترات
- يُعرّف الحجم بأنه مقدار المساحة التي يشغلها الشكل ثلاثي الأبعاد في الفراغ ويتم قياسه بوحدات مختلفة، بما في ذلك الأمتار المكعبة والسنتيمتر المكعب واللترات. كما يطلق عليه أحيانًا القدرة. تشبه طريقة حساب حجم الأسطوانة إلى حد كبير حساب حجم المنشور بسبب تشابه خصائص المنشور مع الأسطوانة.
- حجم الأسطوانة هو حاصل ضرب قاعدة دائرية، وهو ما يساوي مربع نصف القطر مضروبًا في الثابت π الذي تقدر قيمته بـ (3.142) بارتفاع الأسطوانة. يمكن التعبير عن قانون حجم الأسطوانة رياضيًا على النحو التالي:
- حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع، ومنه حجم الأسطوانة: π × مربع نصف القطر × الارتفاع، بالرموز H = × π Naq² × H حيث:
- π ثابت عددي قيمته (3.14، 7/22).
- المرجع: نصف قطر الاسطوانة.
- ح: ارتفاع الاسطوانة.
أمثلة على حساب حجم الاسطوانة ومساحتها باللتر
1- المثال الأول: أسطوانة معدنية ارتفاع 12 سم ونصف قطر القاعدة 7 سم. ما هو حجمها؟
الحل: أدخل ارتفاع القاعدة ونصف قطرها في صيغة حجم الأسطوانة
حجم الاسطوانة: π x نصف القطر مربع x الارتفاع.
ستكون النتيجة:
- حجم الأسطوانة = 7 ² × 12 × 3.142 = 1847.5 سم 3.
2- المثال الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2 سم وارتفاعها 5 سم. ما هو الحجم؟
الحل:
استبدل البيانات في صيغة حجم الأسطوانة:
حجم الاسطوانة: π x نصف القطر مربع x الارتفاع.
سيعطيك هذا: ² 2 × 5 × 3.14 = 62.8 سم 3.
3- المثال الثالث: أسطوانة ارتفاعها 8 أمتار وقطرها 8 أمتار. ماهو الحجم؟
لذلك سيكون على النحو التالي:
- وتجدر الإشارة إلى أن المعطى هو القطر وليس نفس القطر. لذلك، يجب إيجاد نصف القطر بقسمة القطر على 2 ثم استبدال النتيجة بقانون حجم الأسطوانة.
- حجم الاسطوانة: π × نصف القطر مربع × الارتفاع ويتم ذلك على النحو التالي:
- نصف القطر = 8/2 = 4 م.
- بالتعويض في قانون حجم الاسطوانة، نستنتج أن حجم الاسطوانة = 4 ² × 8 × 3.14 = 401.92 م 3.
4- المثال الرابع: أسطوانة ارتفاعها 6 سم وقاعدة مساحتها 30 سم².
إذن ما هي النتيجة:
- استبدل البيانات في صيغة حجم الأسطوانة:
مساحة القاعدة في الارتفاع = 6 × 30 = 180 سم 3.
في هذه المقالة، قمنا بتغطية الكثير من المعلومات المهمة حول حساب حجم الأسطوانة باللترات. في هذه المقالة، قدمنا لك فهمًا لمنطقة الأسطوانة واستخداماتها. نأمل أن ينال هذا المقال إعجابكم.