بحث عن الأعداد الحقيقية في الرياضيات

ابحث عن الأعداد الحقيقية في الرياضيات

تتضمن الأعداد الحقيقية مجموعة الأعداد المنطقية ومجموعة الأعداد غير النسبية، وكلاهما مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الحقيقية.

ومجموعة الأعداد الصحيحة، وهي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد النسبية. بالإضافة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، وهي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة.

تأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تناقضها مع فكرة الأعداد التخيلية، ويمكن التعبير عن الأعداد الحقيقية بالأرقام العشرية. والتي، في حالة الأعداد غير الكسرية، عادة ما تكون سلسلة من الأعداد اللانهائية وغير الدورية.

تنشأ الأعداد الحقيقية

نشأت فكرة الأعداد الحقيقية ؛ لأن هناك أطوالًا لا يمكن التعبير عن قياسها باستخدام الأعداد الصحيحة أو الأرقام المختلطة. بدلاً من ذلك، تكون نتيجة قياسه عبارة عن رقم غير كسري، ويمكن تصورها كأرقام لا نهائية على خط الأعداد.

أما خصائصه كمجموعة عددية فهي كالتالي:

• الأعداد الطبيعية I: هي الأعداد التالية: – [0، 1، 2، 3، 4،……].
• الأعداد الصحيحة y: هي الأرقام التالية:[-3، -2، -1، 0، 1، 2، 3،…].
• الأرقام المنطقية n: هي كل رقم يمكن كتابته بالصيغة (A / B) حيث (A و B) هما رقمان ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة والرقم (B) لا يساوي الصفر.
• الأعداد غير النسبية: هي مجموعة الأعداد اللانهائية وغير الدورية. إنها أعداد ليس لها جذور في شكل عدد طبيعي، مثل الجذر التربيعي للعدد 2.

خصائص الأعداد الحقيقية

• إذا كانت (أ، ب،) أرقامًا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن (أ + ب) تساوي عددًا حقيقيًا. وبالمثل (AB) يساوي عددًا حقيقيًا، على سبيل المثال (1 + 2 = 3)، الرقم 3 هو رقم حقيقي، وبالمثل (2-1 = 1)، الرقم 1 هو أيضًا رقم حقيقي. وبالمثل، فإن حاصل ضرب a و b يساوي عددًا حقيقيًا وأيضًا ناتج القسمة عليهما يساوي عددًا حقيقيًا. حيث (ب) لا تساوي الصفر، على سبيل المثال (4/2 = 2).
• والعدد صفر يعتبر عددًا حقيقيًا. حيث أنه يعتبر العنصر المحايد في الإضافة (5 + 0 = 5).
• والواحد هو عدد حقيقي ؛ لأنه يمثل المكون المحايد للضرب.
• المكافئ الجمعي لأي رقم حقيقي هو مقلوبه، على سبيل المثال المكافئ الجمعي لـ (أ) هو (-a).
• المعادل الرياضي لأي رقم حقيقي لا يساوي الصفر هو مقلوب، على سبيل المثال المعادل الرياضي لـ (أ) هو (1 / أ).

الأعداد الحقيقية في الفيزياء

تُستخدم الأرقام الحقيقية في الفيزياء للتعبير عن القياسات لسببين:

• نلاحظ أن المفاهيم الفيزيائية مثل السرعة اللحظية والتسارع هي نتيجة للنظريات الرياضية التي تهتم بالأرقام الحقيقية. بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه المفاهيم أكثر دقة وأهمية، إذا تم التعبير عنها بأرقام حقيقية
• نتيجة الحسابات الفيزيائية التي لم يتم التعبير عنها بأرقام كسرية، دون أن يأخذها علماء الفيزياء في الاعتبار في مقدماتهم ونتائجهم. هذا لأنه لا يحمل أي معنى مادي.

الأعداد الحقيقية في الكمبيوتر

لا يمكن أن تعمل حسابات الكمبيوتر على جميع الأرقام الحقيقية. بدلاً من ذلك، فهي تعمل فقط على مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية.

تعريف الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي مجموعة من الأعداد التي يمكن كتابتها في صورة كسر، ومقامها دائمًا يساوي واحدًا. تتضمن الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة، بالإضافة إلى الصفر.

تعريف الأعداد الطبيعية

العدد الطبيعي هو مجموعة من الأعداد تبدأ برقم واحد. ويمكن الحصول على أي عدد آخر منهم بإضافة واحد لنفسه أكثر من مرة، مثل 1 + 1 = 2، 1 + 1 + 1 = 3 وهكذا.

بمعنى آخر، المقصود بالأرقام الطبيعية هو مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. التي تقع على يمين الصفر على خط الأعداد، وبالتالي فهي مجموعة لا نهائية.

تعريف الأعداد الكسرية (الكسور)

• الأعداد الكسرية هي مجموعة الأعداد التي تكتب كبسط ومقام. مثل A / B، كلاهما عدد صحيح و (B) لا يساوي الصفر.
• تأتي الأرقام المختلطة في شكلين: إما أنها كسر عشري محدود، مثل 0.5 = 1/2. أو كسر عشري لانهائي متكرر، مثل 0.333333 … = 1/3.

تعريف الأعداد المنطقية

الأعداد النسبية هي اتحاد مجموعة الأعداد الكسرية والكسور والجذور التربيعية والمكعبات الكاملة. وأي رقم آخر يمكن كتابته على هيئة كسر عشري لانهائي، أو كسر عشري متكرر لانهائي.

تعريف الأعداد غير المنطقية

الأرقام غير النسبية هي مجموعة الأرقام التي لا يمكن كتابتها في صورة كسر (أ / ب).

بمعنى آخر، تلك الأرقام التي لا يمكن تحويلها إلى كسر عادي، يكون البسط فيها عددًا صحيحًا والمقام هو أيضًا عدد صحيح.

العلاقة بين مجموعات الأرقام

ومن خلال معرفة مفاهيم المجموعات العددية تبين أن هناك علاقة وثيقة بين كل هذه المجموعات وهي كالتالي:

• كل رقم طبيعي حقيقي ونسبي وصحيح.
• الأعداد الصحيحة هي أعداد منطقية وحقيقية.
• كل رقم منطقي هو بالتأكيد رقم حقيقي.
• كل رقم غير نسبي هو أيضًا رقم حقيقي.

مثال لتوضيح كيفية تصنيف الأرقام الحقيقية

صنف الأعداد التالية إلى أعداد منطقية أو غير منطقية، واذكر السبب.

• يمكن تصنيف الرقم (…… 0.666666) على النحو التالي:

يمثل الحل الرقم (0.6666666.) كسر عشري متكرر ولانهائي، كما يمكننا كتابته بالصيغة (أ، ب). في حين أن (أ و ب) أعداد صحيحة و (ب) لا تساوي الصفر، لذلك يعتبر عددًا نسبيًا.

• أما الرقم (0.13131313) فيمكن تصنيفه كالتالي:

الحل يمثل الرقم (0.13131313) كسرًا عشريًا لا يتكرر في نمط معين، كما أنه لا نهائي. حيث لا يمكننا كتابتها على شكل (أ، ب)، لأن (أ، ب) عددان صحيحان و (ب) لا تساوي الصفر، لذلك فهي تعتبر عددًا غير نسبي.

• الجذر التربيعي للعدد 2 كالتالي:

الجذر التربيعي للعدد 2 هو جذر تربيعي غير مكتمل لأننا لا نستطيع كتابته بالشكل (أ، ب). عندما تكون (أ و ب) أعداد صحيحة و (ب) لا تساوي الصفر، فهي بالتالي عدد غير نسبي.

في ختام موضوعنا حول دراسة الأعداد الحقيقية في الرياضيات، ذكرنا جميع العناصر المهمة لهذا البحث الموجز.